| 2023 |
S组 |
单选第2题 |
选择题 |
排列组合（涂色问题） |
异或性质；线性约束下自由变量数量计算；通过“首行首列确定全局”的思路减少复杂度；结合矩阵奇偶性分析 |
4x4 网格的红绿染色方案数，要求每两行两列交点同色数为偶数 |
★★★★ |
2分 |
| 2023 |
S组 |
单选第7题 |
选择题 |
数论（质因数分解、因数个数） |
质因数分解后利用公式 (指数+1) 相乘求因数个数；需要快速分解与公式应用 |
给定一个整数，计算它的因数个数，或判断其约数性质 |
★★★ |
2分 |
| 2023 |
J组 |
单选第7题 |
选择题 |
排列组合（握手问题） |
组合数公式 C(n,2)；理解“每次握手对应唯一一对人”；避免重复计数 |
n 个人互相握手，问总共有多少次握手 |
★★ |
2分 |
| 2023 |
J组 |
单选第8题 |
选择题 |
数论（最大公约数性质） |
gcd 与 lcm 恒等式；常用公式 gcd(a,b)·lcm(a,b)=ab；对反例的辨析 |
判断多条关于 gcd 与 lcm 的性质，找出错误的命题 |
★★ |
2分 |
| 2022 |
S组 |
单选第4/6题 |
选择题 |
排列组合（几何计数） |
结合图形结构进行组合数计算；分类讨论避免重叠；几何条件下的计数转换 |
计算满足条件的三角形或矩形个数 |
★★★☆ |
2分 |
| 2022 |
S组 |
阅读程序第2题 |
阅读程序 |
排列组合（组合数 C(n,m)） |
利用递推公式/杨辉三角计算组合数；程序实现组合数取模；考查程序理解 |
给定代码，要求理解并输出 C(n,m) mod k |
★★★ |
约15分 |
| 2022 |
J组 |
单选第7题 |
选择题 |
排列组合（数字排列） |
分类讨论、首位约束、加法原理；排除不合法情况 |
组成满足特定限制条件的数字 |
★★☆ |
2分 |
| 2021 |
S组 |
单选第6题 |
选择题 |
数论（质因数分解） |
唯一分解定理；质数判定方法；因数构造 |
判断一个数是否为质数，或给出其分解形式 |
★★★ |
2分 |
| 2021 |
S组 |
单选第8题 |
选择题 |
数论（进制与整除） |
进制展开结合模运算；通过余数判断能否整除 |
给定某进制下的数，判断它能否被整除 |
★★☆ |
2分 |
| 2021 |
J组 |
单选第8题 |
选择题 |
排列组合（比赛场次） |
C(n,2) 的直接应用；每两队比赛唯一对应一场 |
n 队进行单循环赛，问总比赛场次 |
★★ |
2分 |
| 2020 |
S组 |
单选第6题 |
选择题 |
数论（进制转换） |
进制展开公式；逐步转换方法；考查进制理解 |
A 进制数转换为 B 进制数 |
★★☆ |
2分 |
| 2020 |
S组 |
单选第10题 |
选择题 |
数论（同余） |
同余方程的解法；模逆元的应用；判断是否有解 |
解同余方程，或判断方程解的情况 |
★★★☆ |
2分 |
| 2020 |
J组 |
单选第14题 |
选择题 |
排列组合（排队问题） |
捆绑法、容斥原理；考虑双胞胎相邻与分开情况 |
5 个孩子（含双胞胎）排队，满足相邻位置限制 |
★★★☆ |
2分 |
| 2020 |
J组 |
阅读程序第1题 |
阅读程序 |
数论（欧几里得算法） |
gcd 的辗转相除法；程序逐步递归；边界条件处理 |
阅读程序，理解 gcd 的计算过程 |
★★★ |
约15分 |
| 2020 |
J组 |
单选第13题 |
选择题 |
数论（模运算） |
模运算周期性；余数循环；日历问题常见技巧 |
根据年份取模计算天干地支 |
★★☆ |
2分 |
| 2020 |
J组 |
单选第15题 |
选择题 |
排列组合（成对问题） |
组合数计算；避免重复配对；约束条件处理 |
从手套中取若干只，恰好能配成 K 副 |
★★★ |
2分 |
| 2019 |
S组 |
完善程序第2题 |
完善程序 |
排列组合（康托展开） |
康托展开公式；阶乘权重；程序化实现排列排名 |
补全程序，求一个排列在字典序中的排名 |
★★★★ |
约15分 |
| 2019 |
S组 |
单选第7题 |
选择题 |
排列组合（圆排列/重复排列） |
圆排列公式；重复元素去重处理；特殊排列数公式 |
求圆排列数，或计算含重复元素的排列数 |
★★★☆ |
2分 |
| 2019 |
J组 |
单选第19题 |
选择题 |
排列组合（路径计数） |
格路问题；组合数 C(m+n,n)；动态规划思路 |
求 m×n 网格从起点到终点的路径总数 |
★★★ |
2分 |
| 2018 |
S组 |
单选第8题 |
选择题 |
数论（欧拉函数） |
欧拉函数 φ(n) 定义；公式推导 φ(n)=n∏(1-1/p) |
计算欧拉函数 φ(n) |
★★★★ |
2分 |
| 2018 |
S组（NOIP提高） |
单选第7题 |
选择题 |
排列组合（错排） |
错排公式 D(n)；容斥法推导；经典错位问题 |
信封错排问题，问无一人信封正确的方案数 |
★★★☆ |
2分 |
| 2018 |
J组 |
单选第21题 |
选择题 |
数论（日期/模运算） |
模运算周期性；与日历结合；整除与余数规律 |
给定日期，计算星期几 |
★★☆ |
1.5分 |
| 2017 |
S组 |
单选第9题 |
选择题 |
排列组合+容斥 |
容斥原理核心；避免重复计数；至少满足一个条件的处理 |
至少满足一个条件的排列/选择计数 |
★★★★ |
2分 |
| 2017 |
J组（NOIP普及） |
单选第19/20题 |
选择题 |
排列组合（选择/乘法原理） |
组合数公式；分步计数法；加法原理与乘法原理对比 |
物品选择题或任务分步方案数 |
★★☆ |
1.5分 |
| 2022 |
J组 |
单选第6题 |
选择题 |
排列组合（组合数） |
C(n,m) 直接计算；阶乘性质；组合数比较大小 |
计算组合数，或判断其大小关系 |
★★ |
2分 |
| 2021 |
J组 |
单选第5题 |
选择题 |
数论（因数个数） |
质因数分解；因数个数公式应用 |
给定一个数，求其正因数个数 |
★★★ |
2分 |
| 2019 |
J组 |
单选第3题 |
选择题 |
数论（gcd 与 lcm） |
gcd·lcm=ab 等恒等式；性质应用与判断 |
判断 gcd 与 lcm 相关命题的正确性 |
★★ |
2分 |
| 2018 |
J组 |
单选第7题 |
选择题 |
排列组合（分组分配） |
隔板法；球盒模型；考虑空盒情况 |
球放入盒子方案数问题 |
★★★ |
2分 |
| 2017 |
J组 |
单选第6题 |
选择题 |
数论（模运算性质） |
(a±b) mod m 的规则；模运算简化技巧 |
判断模运算等式是否成立 |
★★ |
2分 |
