二分查找

二分查找

二分法（Binary Search）是一种高效的有序数据集查找算法，核心思想是 “通过不断将查找范围减半，快速缩小目标位置”，其时间复杂度为 O(log n)（n 为数据集长度），远优于线性查找的 O (n)。但需注意：二分法的前提是数据集已按升序或降序排列（通常默认升序）。

使用场景特点

1. 搜索空间有序：无论是数组元素、函数输入、解的范围，其 “排序性” 是二分的基础；
2. 判断可缩小空间：能通过一次简单判断（如 “中间值与目标的大小”“解是否可行”）将搜索空间直接减半。

实际应用问题场景

1. 有序数据结构中的 “查找问题”
   • 判断有序数组中是否存在某个目标值，若存在则返回索引
   • 定位目标值的第一个出现位置或最后一个出现位置（如去重、统计元素个数）。
   • 查找目标值的前驱（小于目标的最大元素）、后继（大于目标的最小元素）
2. “单调函数” 的求解问题
   • 求解 “函数零点”（方程求解）
3. “有序解空间” 的资源优化问题
   • 比如查找与一个数相等的另一个数的基数

算法原理

二分法的本质是 “利用有序性排除无效范围”，具体逻辑如下：

1. 确定范围：初始查找范围是整个有序数据集（左边界 left 指向第一个元素，右边界 right 指向最后一个元素）。
2. 计算中点：找到当前范围的中间位置 mid，取 mid 处的元素与目标值 target 比较。
3. 缩小范围
   • 若 mid 处元素 等于 target：找到目标，返回 mid（或记录结果）。
   • 若 mid 处元素 小于 target：目标在 mid 的右侧（因数组有序），将左边界 left 调整为 mid + 1（排除左半部分）。
   • 若 mid 处元素 大于 target：目标在 mid 的左侧，将右边界 right 调整为 mid - 1（排除右半部分）。
4. 循环终止：重复步骤 2-3，直到 left > right（说明范围为空，目标不存在）。

实现步骤

步骤 1：初始化边界指针

定义两个变量 left 和 right，分别表示当前查找范围的 “左边界” 和 “右边界”：

步骤 2：循环缩小查找范围（核心步骤）

循环条件：left <= right（当 left > right 时，范围为空，终止循环）。

1. 计算中点索引 mid：
2. 比较 arr[mid] 与 target：

步骤 3：处理查找失败

若循环结束（left > right）仍未返回，说明目标值不在数组中，返回 -1（或其他约定的 “不存在” 标记）

通用模版

模版1

BinarySearch(int arr[], int target) {// 初始化边界指针int left = 0, right = arr.size() - 1;//循环缩小查找范围（核心步骤）while(left <= right) {int mid = left + (right - left)/2;//比较中间元素与目标值if (nums[mid] == target) {// 找到目标值，返回索引return mid;} else if (nums[mid] < target) {// 中间值小于目标值，收缩左边界（目标在右半部分）left = mid + 1;} else {// 中间值大于目标值，收缩右边界（目标在左半部分）right = mid - 1;}}// 循环结束仍未找到，返回-1（表示不存在）return -1;
}

模板 2：二分法（找左边界，含重复元素）

适用于有序数组中查找 “第一个≥目标值” 的元素索引（如找第一个大于等于 target 的位置，常用于插入排序定位、重复元素中找首次出现的位置）。

// 函数功能：在升序数组nums中，找第一个≥target的元素索引（左边界）
// 参数：nums-升序有序数组，target-待查找目标值
int binarySearch_LeftBound(const vector<int>& nums, int target) {// 1. 初始化：查找范围覆盖整个数组int left = 0;int right = nums.size() - 1;int result = nums.size();  // 初始化为数组长度（表示未找到时返回插入位置）// 2. 核心循环：缩小范围，定位左边界while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] >= target) {// 找到可能的左边界，继续向左缩小范围（找更靠左的≥target的元素）result = mid;          // 暂存当前mid为候选结果right = mid - 1;       // 右边界左移，探索左半区} else {// 当前mid值小于target，目标在右半区left = mid + 1;}}// 3. 结果处理：返回最终找到的左边界（或插入位置）return result;
}

模板 3：二分法（找右边界，含重复元素）

适用于有序数组中查找 “最后一个≤目标值” 的元素索引（如找最后一个小于等于 target 的位置，常用于重复元素中找末次出现的位置）。

// 函数功能：在升序数组nums中，找最后一个≤target的元素索引（右边界）
// 参数：nums-升序有序数组，target-待查找目标值
int binarySearch_RightBound(const vector<int>& nums, int target) {// 1. 初始化：查找范围覆盖整个数组int left = 0;int right = nums.size() - 1;int result = -1;  // 初始化为-1（表示未找到时返回无效索引）// 2. 核心循环：缩小范围，定位右边界while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] <= target) {// 找到可能的右边界，继续向右缩小范围（找更靠右的≤target的元素）result = mid;          // 暂存当前mid为候选结果left = mid + 1;        // 左边界右移，探索右半区} else {// 当前mid值大于target，目标在左半区right = mid - 1;}}// 3. 结果处理：返回最终找到的右边界（或-1表示无符合元素）return result;
}

不同情况的不同之处

1. 找左边界(找第一个大于等于 target 的位置) ：>= 找右边界（找第一个小于等于target的位置）：<= ,找哪一边的边界，就向哪一边缩小范围

中位数选取的核心原则

mid 的计算方式（向下 / 向上取整）由边界收缩方向决定：

• 当收缩方向为 向左（right = mid - 1）时，用向下取整（默认方式），确保范围有效缩小。

mid = left + (right - left) / 2

• 当收缩方向为 向右（left = mid + 1）时，若 left 和 right 可能相邻（差 1），需用向上取整，避免 mid 始终等于 left 导致的死循环。

left + (right - left + 1) / 2

本质上，所有调整都是为了保证：每次迭代后，搜索范围的大小必须严格减小，最终能在有限步内结束循环。

若都考虑使用 int mid = left + (right - left) / 2; 则需要像

// 找到可能的右边界，继续向右缩小范围（找更靠右的≤target的元素） result = mid; // 暂存当前mid为候选结果 left = mid + 1; // 左边界右移，探索右半区

用result保存答案，用left = mid + 1 来防止陷入循环

实数二分

实数二分

while((left-right)>eps)
{int ans;mid = left + (right - left) / 2;if (check(mid)){right = mid;}   else left = mid;
}